[17],[18],[19],[20]
Gördüğümüz üzere, tekdüze en güçlü(sapmasız) bir sınama ve en dar(sapmasız) bir güven aralığı varsa, bir sav sınama ve aralık tahmini sorununun yeterli bir çözümünü bunlar sağlar. Ne yazık ki, yalnızca karşılaşılabilecek durumların kısıtlı bir sınıfında bulunurlar. Bunların yerine, sırasıyla A türü kritik bölge ve dar güven aralığının kullanılması önerilmiştir. Sınanacak \({{\theta }_{0}}\) değerinin, \(\theta \)’ya yakın değerlerinden çok \(\theta \)’dan uzak değerlerinde güç işlevinin davranışıyla daha çok ilgilendiğimizden, \(A\) türü kritik bölgenin uygunluğu oldukça kuşkuludur. Benzer karşı çıkış dar güven aralığına da yapılabilir. Ancak, son araştırmalar, durumun ilk bakışta görüldüğünden çok daha elverişli olduğunu göstermiştir. Asimptotik olarak tekdüze en güçlü sapmasız sınamalar ve asimptotik olarak en dar sapmasız güven aralıkları hemen hemen her zaman bulunduğundan, tekdüze en güçlü sapmasız sınamaların ve en dar sapmasız güven aralıklarının bulunmamasından kaynaklanan zorlukların, örnek büyüklüğünün artmasıyla giderek azaldığı gösterilmiştir.
\({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},…,{{x}_{n}}\) gözlem değerlerinin, dağılım işlevi tek bir bilinmeyen \(\theta \) ölçümötesini içeren aynı \(X\) rassal değişgeni üzerine \(n\) tane bağımsız gözlem değeri olduğunu varsayacağız. \(X\)’in olasılık yoğunluk işlevi de, diyelim ki, \(\phi \left( x,\theta \right)\) olsun. Tartışmamızda, gözlemlerin sayısı \(n\) sabit tutulmayacağından, örnek uzayının boyutunu uygun alt-simgelemeyle belirteceğiz. Örneğin, \(n\)-boyutlu örnek uzayında kritik bir bölge, alt-simgelemi \(n\) olan büyük bir harfle gösterilecektir. \(n\)-boyutlu örnek uzayı noktası \({{E}_{n}}\) ve \(n\) gözleme dayalı güven aralığı \({{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\) ile simgelenecektir.
Her hangi bir \({{U}_{n}}\) bölgesi için \(G\left( {{U}_{n}} \right)\), \(O\ell \left( \left. {{U}_{n}} \right|\theta \right)\)’nın en büyük alt sınırını(ebas); her hangi \({{U}_{n}}\text{ ve }{{T}_{n}}\) bölge ikilisi için \(L\left( {{U}_{n}},{{T}_{n}} \right)\) de, \(O\ell \left[ {{U}_{n}}\left( \theta \right)-P\left( \left. {{T}_{n}} \right|\theta \right) \right]\)’nın en küçük üst sınırını(eküs) göstersin.
Eğer \(O\ell \left( \left. W \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) ise ve \(O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) olan her \(\left\{ {{Z}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölge dizisi için, \(\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\operatorname{sydb}L\left( {{Z}_{n}},{{W}_{n}} \right)=0\) ise, \(\left\{ {{W}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölge dizisine, \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının, \(\alpha \) anlamlılık düzeyinde, asimptotik en güçlü sınaması denir.
Eğer \(O\ell \left( \left. W \right|{{\theta }_{0}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,G({{W}_{n}})=\alpha \) ise ve \(O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,G\left( {{Z}_{n}} \right)=\alpha \) olan her \(\left\{ {{Z}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölge dizisi için, \(\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\operatorname{sydb}L\left( {{Z}_{n}},{{W}_{n}} \right)\le 0\) eşitsizliği sağlanıyorsa, \(\left\{ {{W}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölge dizisine, \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının, \(\alpha \) anlamlılık düzeyinde, asimptotik en güçlü sapmasız sınaması denir.
\(O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) olan tüm \(\left\{ {{Z}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölgelerine göre, \(O{{\ell }_{n}}\left( \theta ,\alpha \right)=\operatorname{ek\ddot{u}s} O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|\theta \right)\) olsun.
\(O{{\ell }_{n}}\left( \theta ,\alpha \right)\)’ya, \(\alpha \) anlamlılık düzeyine ilişkin zarf işlevi diyeceğiz. Benzer biçimde, \(\alpha \) büyüklüğündeki tüm sapmasız \(Z_n\) kritik bölgelerine göre \(O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|\theta \right)\)’nın en küçük üst sınırı \(O\ell _{n}^{*}\left( \theta ,\alpha \right)\) olsun. \(O\ell _{n}^{*}\left( \theta ,\alpha \right)\)’ya, \(\alpha \) anlamlılık düzeyine ilişkin sapmasız zarf işlevi diyeceğiz.
Daha önce verilen iki tanım aşağıdaki iki tanıma denktir:
Bir \(\left\{ {{W}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölgeleri dizisi, eğer \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) ve \(\theta \) üzerinden
\[\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\left\{ O\ell \left( \theta ,\alpha \right)-O\ell \left( \left. W \right|\theta \right) \right\}=0\]
tekdüze ise, \(\alpha \) anlamlılık düzeyinde \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının en güçlü asimptotik sınamasıdır.
Bir \(\left\{ {{W}_{n=1(1)\infty }} \right\}\) bölgeleri dizisi, eğer \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) ve \(\theta \) üzerinden
\[\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\left\{ O{{\ell }^{*}}\left( \theta ,\alpha \right)-O\ell \left( \left. W \right|\theta \right) \right\}=0\]
tekdüze ise, \(\alpha \) anlamlılık düzeyinde \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının en güçlü asimptotik sınamasıdır.
\({{\hat{\theta }}_{n}}\left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\), \(n\)-boyutlu örnek uzayındaki \(\theta \)’nın ençok olabilirlik tahmini olsun. Bu, \(\prod\limits_{\alpha =1}^{n}{\phi \left( {{x}_{\alpha }},\theta \right)}\) çarpımını en büyük yapan \(\theta \) değerini \(\hat{\theta }\) gösterir demektir anlamına gelir. \({{W}_{n}}^{\prime }\) bölgesi, \(\sqrt{n}\left( {{{{\theta }’}}_{n}}={{\theta }_{0}} \right)\ge {{{c}’}_{n}}\) eşitsizliği ile; \({{W}_{n}}^{\prime \prime }\), \(\sqrt{n}\left( {{{{\theta }”}}_{n}}={{\theta }_{0}} \right)\ge {{{c}”}_{n}}\) eşitsizliği ile; ve \({{W}_{n}}\), \(\left| \sqrt{n}\left( {{{\hat{\theta }}}_{n}}={{\theta }_{0}} \right) \right|\ge {{d}_{n}}\) eşitsizliği ile tanımlansın. \({{d}_{n}},{{c}_{n}}^{\prime }\text{ ve }{{{c}”}_{n}}\) sabitleri
\[O\ell \left( \left. {{{{W}’}}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=O\ell \left( \left. {{W}_{n}}^{\prime \prime } \right|{{\theta }_{0}} \right)=O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \]
olacak biçimde seçilir. \(f\left( x,\theta \right)\) olasılık yoğunluğu üzerine belli kısıtlar altında \(\left\{ {{{{W}’}}_{n}} \right\}\) dizisinin, eğer \(\theta \) yalnızca \(\theta \ge {{\theta }_{0}}\) değerlerini alırsa, \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının en güçlü asimptotik bir sınaması olduğu gösterilmiştir. Benzer biçimde eğer \(\theta \) yalnızca \(\theta \le {{\theta }_{0}}\) değerlerini alırsa, \(\left\{ {{{{W}”}}_{n}} \right\}\) en güçlü asimptotik bir sınama ve \(\theta \) her hangi gerçel bir değer alabiliyorsa, \(\left\{ {{W}_{n}} \right\}\) en güçlü sapmasız asimptotik bir sınamadır.
Asimptotik en güçlü başka sınamalar da vardır. \({{c}_{n}},{{c}_{n}}^{\prime }\text{ ve }{{{c}”}_{n}}\) değişmezleri
\[O\ell \left( \left. {{{{W}’}}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=O\ell \left( \left. {{W}_{n}}^{\prime \prime } \right|{{\theta }_{0}} \right)=O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \]
olacak biçimde seçilmiş olmak üzere, \({{{W}’}_{n}}\) bölgesi,
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\alpha }},{{\theta }_{0}} \right)\ge {{{{c}’}}_{n}}}\]
eşitsizliği ile, \({{{W}’}_{n}}\),
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\alpha }},{{\theta }_{0}} \right)\le {{{{c}”}}_{n}}}\]
eşitsizliği ile, ve \({{W}_{n}}\)
\[\left| \frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\alpha }},{{\theta }_{0}} \right)} \right|\ge {{c}_{n}}\]
eşitsizliği ile tanımlansın. O zaman, eğer \(\theta \) yalnızca \(\theta \ge {{\theta }_{0}}\) değerlerini alırsa, \(\left\{ {{{{W}’}}_{n}} \right\}\), \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının en güçlü asimptotik bir sınamasıdır. Benzer biçimde eğer \(\theta \) yalnızca \(\theta \le {{\theta }_{0}}\) değerlerini alırsa, \(\left\{ {{{{W}”}}_{n}} \right\}\) en güçlü asimptotik bir sınama; ve \(\theta \) her hangi gerçel bir değer alabiliyorsa, \(\left\{ {{W}_{n}} \right\}\) en güçlü sapmasız asimptotik bir sınamadır.
\({{A}_{n}}\left( {{\theta }_{0}} \right)\), \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının sınanmasında \(A\) türü kritik bölgeyi göstermek üzere, \(\left\{ {{A}_{n}}\left( {{\theta }_{0}} \right) \right\}\) dizisi, \(\theta ={{\theta }_{0}}\) savının en güçlü sapmasız asimptotik bir sınamasıdır.
Bir çok asimptotik en güçlü sınama bulunduğundan, bunların aynı ölçüde iyi olup olmadığı ya da birinin diğerlerine göre yeğlenip yeğlenemeyeceği sorusu ortaya çıkar. \(\left\{ {{W}_{n}} \right\}\) ve \(\left\{ {{{{W}’}}_{n}} \right\}\) asimptotik en güçlü sapmasız iki sınamaysa, yeterince büyük \(n\) için aynı ölçüde iyi olacakları açıktır. Gerçekten, yeterince büyük \(n\) için \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|\theta \right)\) ve \(O\ell \left( \left. {{{{W}’}}_{n}} \right|\theta \right)\) güç işlevlerinin her ikisi de, \(O{{\ell }_{n}}\left( \theta ,\alpha \right) O\ell _{n}^{*}\left( \theta ,\alpha \right)\)’nın küçük bir komşuluğundadır. Ancak, güç işlevinin birisinin, diyelim ki \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)\)’nin, \(n\) arttıkça, \((O\ell \left( \left. {{{{W}’}}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)\)’den daha hızlı zarf işlevine yaklaşması gibi farklı davranabilirler. Böyle bir durumda, özellikle örnek yalnızca bir ölçüye kadar büyükse, \(W_n\)’nin kullanılması daha uygun gibidir. Örnek, her iki güç işlevi zarf işlevinin yakın bir komşuluğunda olacak kadar büyükse, \( W _ n \) ya da \( W ‘ _ n \)’yi kullanmamızın bir önemi yoktur.
Bunlar, \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|\theta \right)\)’nin zarf işlevine belli bir anlamda en hızlı yaklaştığı asimptotik en güçlü(sapmasız) \(\left\{ {{W}_{n}} \right\}\) sınamasını kullanmanın uygun olacağı düşüncesine götürür.
\(O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \) olmak üzere tüm \({{Z}_{n}}\)’ler için, eğer \(O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|{{\theta }_{0}} \right)=\alpha \), \(\underset{\theta }{\mathop{\text{ek }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ s}}}\,\left[ O{{\ell }_{n}}\left( \theta ,\alpha \right)-O\ell \left( \left. {{W}_{n}} \right|\theta \right) \right]\) ve \(\underset{\theta }{\mathop{\text{ek }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ s}}}\,\left[ O{{\ell }_{n}}\left( \theta ,\alpha \right)-O\ell \left( \left. {{Z}_{n}} \right|\theta \right) \right]\) ise,
\(\theta ={{\theta }_{0}}\) savını sınamada \({{W}_{n}}\) bölgesine, \(\alpha \) ölçekli en sıkı sınama denir.
Her \(n\) için \({{W}_{n}}\) en sıkı sınamaysa, güç işlevi belli bir anlamda, zarf işlevine diğer her hangi bir güç işlevinden daha hızlı yaklaşacaktır. Dolayısıyla, en sıkı sınamanın kullanımı istenir gibi görünüyor. \(A\) türü bir bölge tam olarak en sıkı bir sınama değildir ama, olasıca ona oldukça yakındır (bu soru yine de araştırılmalıdır), ve bu, \(A\) türü bir bölgenin kullanımını haklı çıkaracak çok iyi bir kanıt sağlayabilir. Açıkça en güçlü sıkı sınama bulmadaki matematiksel güçlükler hatırı sayılır büyüklüktedir.
\({{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)=\left[ {{{\underline\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right),{{{\bar{\theta }}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right]\) bir aralık işlevi olsun ve \(O\ell \left[ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right]\), \({\theta }”\)’nün ölçümötesinin gerçek değeri olduğu varsayımı altında \({{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\)’nün \({\theta }’\)’nü içerme olasılığını göstersin.
\({{\left\{ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right\}}_{n=1(1)\infty }}\) aralık işlevleri dizisi, eğer
(a) tüm \(\theta \) değerleri için \(O\ell \left( {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in \theta \left| \theta \right. \right)=\alpha \) ve
(b) her hangi bir (a)’yı sağlayan \({{\left\{ {{{{\delta }’}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right\}}_{n=1(1)\infty }}\) aralık işlevleri dizisi için,
\[\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\underset{{\theta }’,{\theta }”}{\mathop{\text{ek }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ s}}}\,\left\{ O\ell \left[ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right]-O\ell \left[ {{{{\delta }’}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right] \right\}=0\]
ise, \(\theta \)’nın asimptotik en dar güven aralığı olarak adlandırılır.
\({{\left\{ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right\}}_{n=1(1)\infty }}\) aralık işlevleri dizisi, eğer
(a) tüm \(\theta \) değerleri için \(O\ell \left( {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in \theta \left| \theta \right. \right)=\alpha \);
(b) \(\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\underset{{\theta }’,{\theta }”}{\mathop{\text{ek }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ s}}}\,\left\{ O\ell \left[ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right] \right\}=\alpha \) ve
(c) her hangi bir (a) ve (b)’yi sağlayan \({{\left\{ {{{{\delta }’}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right\}}_{n=1(1)\infty }}\) aralık işlevleri dizisi için,
\[\underset{n\to \infty }{\mathop{er}}\,\underset{{\theta }’,{\theta }”}{\mathop{\text{ek }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ s}}}\,\left\{ O\ell \left[ {{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right]-O\ell \left[ {{{{\delta }’}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\in {\theta }’\left| {{\theta }”} \right. \right] \right\}=0\]
ise, \(\theta \)’nın asimptotik en dar sapmasız güven aralığı olarak adlandırılır.
Ölçümötesinin gerçek değerinin \(\theta \) olduğu varsayımı altında, \(O\ell \left\{ \left| \frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\beta }},\theta \right)} \right|\ge {{C}_{n}}\left( \theta \right) \right\}=\alpha \) olmak üzere, \(\theta \)’nın pozitif bir işlevi \({{C}_{n}}\left( \theta \right)\) olsun. \(\theta \) cinsinden, \(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\beta }},\theta \right)=}{{C}_{n}}\left( \theta \right)\) denkleminin kökünü \({{\underset{\scriptscriptstyle-}{\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\) ve \(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{\frac{\partial }{\partial \theta }\log \phi \left( {{x}_{\beta }},\theta \right)=}-{{C}_{n}}\left( \theta \right)\) denkleminin kökünü \({{\bar{\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\) göstersin. \(\phi \left( x,\theta \right)\) işlevi üzerine belli kısıtlar altında, \({{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)=\left[ {{{\underline\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right),{{{\bar{\theta }}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right]\) aralığının, \(\alpha \) güven katsayısına karşılık gelen, \(\theta \)’nın asimptotik en dar sapmasız güven aralığı olduğu gösterilmiştir. Bu güven aralığı Wilks[22] tarafından verilenle aynıdır. Wilks’in araştırmalarının temelinde yatan en kısa güven aralığının tanımı, burada kullanılan Neyman’ınkinden oldukça farklıdır. Wilks’e göre, beklenen uzunluğu en küçük olan \(\delta \left( E \right)\) güven aralığı, olağan en kısa olarak adlandırılır. Wilks tarafından elde edilen temel sonuç şöyle belirtilebilir: Söz konusu güven aralığı, uç noktaları
\[\sum\limits_{\beta =1}^{n}{\varphi \left( {{x}_{\beta }},\theta \right)=}\pm {{C}_{n}}\left( \theta \right)\]
türünde bir denklemin kökleri olan tüm güven aralıklarıyla karşılaştırıldığında, sıradan asimptotik en dardır. Şimdiki incelemede böyle bir kısıt getirilmemiştir. Ele alınan güven aralığının, her hangi bir sapmasız güven aralığına göre asimptotik en dar olduğu gösterilmiştir.
Şimdi, ölçümötesinin gerçek değerinin \(\theta \) olduğu varsayımı altında \(O\ell \left[ \left| {{{\hat{\theta }}}_{n}}-\theta \right|\le {{C}_{n}}\left( \theta \right) \right]=\alpha \) olacak biçimde, \(\theta \)’nın pozitif bir işlevi \({{C}_{n}}\left( \theta \right)\) olsun. \(\theta \) cinsinden, \({{\hat{\theta }}_{n}}-\theta ={{C}_{n}}\left( \theta \right)\) denkleminin kökünü, \({{\underline\theta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({{\hat{\theta }}_{n}}-\theta =-{{C}_{n}}\left( \theta \right)\) denkleminin kökünü, \({{\bar{\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)\) göstersin. \({{\delta }_{n}}\left( {{E}_{n}} \right)=\left[ {{{\underline\theta }}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right),{{{\bar{\theta }}}_{n}}\left( {{E}_{n}} \right) \right]\) aralığını ele alalım. Yoğunluk işlevi \(\phi \left( x,\theta \right)\) üzerine belli kısıtlar altında, \(\delta \left( E \right)\)’nın asimptotik en dar sapmasız güven aralığı olduğu gösterilebilir.
Bu en çok olabilirlik tahmininin etkinliğinden çok daha güçlü bir özelliğidir ve en çok olabilirlik tahmininin kullanımını Neyman’ın tahmin kuramının ışığında da haklı gösteren bir kanıttır.