[12],[14],[15]
R. A. Fisher, Neyman ve Pearson tarafından son yirmi yılda geliştirilen istatistiksel çıkarımın ilkeleri, önceki sayfalarda dile getirilmiş olan genel istatistiksel çıkarım sorununa değil, bir savın sınanması ve tahmini sorunlarına işkindir. Bu kuramlardaki bir başka kısıt da, \(\Omega \) ’nın, dağılım işlevlerinin yalnızca \(k\)-ölçümöteli bir aile olduğu durumlara ilişkin olması; başka bir deyişle, gerçek ama bilinmeyen dağılım işlevi \(\Phi \)’nin, \({\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},…,{\theta _k}\)’lar ölçümöteler olmak üzere, \(k\)-ölçümöteli bir \(\Phi \left( {{x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n};{\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},…,{\theta _k}} \right)\) işlevler ailesinin üyesi olarak ele alınıyor olmasıdır. Bu durumda, ölçümöte değerleri, dağılım işlevi \(\Phi \)’yı tam olarak belirler.
Ölçümöte değerlerinin bir kümesi, ölçümöte uzayı olarak adlandırılan \(k \)-boyutlu bir Öklitgil uzayda, bir nokta ile gösterilebilir. \(\Omega \) ’nın üyeleri ile ölçümöte uzayının noktaları arasındaki bire-bir bağıntıdan ötürü,
\(\Omega \)’yı ölçümöte uzayıyla tanıtlayabiliriz. Örneğin, \({X_1},{X_2},{X_3},…,{X_n}\), her biri bir birinden bağımsız, (2)’deki gibi aynı normal dağılımlıysa, ölçümöte uzayı \({\theta _1} = \mu = \)ortalama değer, ve \(0 \leq {\theta _2} = \sigma = \)standart sapma olmak üzere, yarım bir düzlemdir.
\(\Phi \)’ye ilişkin bir sav, gerçek ölçümöte noktasının, ölçümöte uzayı \(\Omega \) ’nın belirli bir alt-kümesi \(\omega \)’nın bireyi olduğu yolunda ifade edilir. Daha önce olduğu gibi, eğer \(\omega \), tek bir noktadan oluşuyorsa, savın yalın bir sav olduğu söylenir. Yoksa, savın bileşik olduğu söylenir. Yukarıdaki örnekte, \(\mu = 0,\sigma = 1\) olduğunun öne sürülmesi, yalın bir sav; \(\sigma \) için bir değer öne sürülmeksizin, yalnızca \(\mu = 0 \) olduğunun öne sürülmesi bileşik bir savdır.
Fisher, Neyman ve Pearson kuramlarındaki temel düşünceleri göstermek için yeterli olduğundan, yalınlık bakımından kendimizi bilinmeyen tek ölçümöteli durumla sınırlayacağız. Önce, istatistiksel bir savın sınanmasında Neyman-Pearson kuramını ele alacağız.
Bilinmeyen dağılım işlevinin, tek ölçümöteli \(\Phi \left( {{x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n};\theta } \right)\) dağılım işlevleri ailesinin bir üyesi olduğunu varsayıyoruz ve \(\theta = {\theta _0} \) savını sınamak istiyoruz.
Bu durum için basit bir örnek şöyle verilebilir: \({X_1},{X_2},{X_3},…,{X_n}\), bağımsız aynı ortalama ve birim değişkeli normal dağılımlı; bir başka deyişle, \(\Omega \) , tek-ölçümöteli
$$\Phi \left( {{x_1},{x_2},{x_3}, \cdots ,{x_n}; \theta} \right)=\frac{1}{\ (2 \pi)^{n/2} \sigma^2} \int\limits_{ – \infty }^{{x_1}} {{e^{ – \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\nu – \theta }}{\sigma }} \right)}^2}}}dy} \cdots \int\limits_{ – \infty }^{{x_n}} {{e^{ – \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\nu – \theta }}{\sigma }} \right)}^2}}}dy} $$
dağılım işlevleri ailesinin üyesi olsun, ve \(\theta = 0\) savını sınamak istediğimizi düşünelim. Klasik kurama göre bu savı, \(d\) bir sabiti göstermek üzere, ancak ve ancak eğer,
$$\left| {\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right| \geqslant d$$
ise red ederiz. \(d\) sabitinin değeri, \(\theta = 0\) savının doğru olduğu varsayımı altında,
\(\left| {\bar x} \right| > d\) olma olasılığının, savı red etmek isteyeceğimiz kadar küçük olacak biçimde seçilir. Bu olasılığın yüzde 5 olmasını istersek, \(d = \frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\) olmalıdır.
Verilen örnekte, örnek uzayı Öklitgil düzlem olacak biçimde, yalnızca \(x{}_1,{x_2}\) gibi iki gözlem almış olsaydık, kritik bölge, tüm \(\frac{1}{2}\left( {x{}_1 + {x_2}} \right) > \frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\) ve \(\frac{1}{2}\left( {x{}_1 + {x_2}} \right) < -\frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\) noktalarından oluşurdu. Eğer, gözlemlere karşılık gelen nokta kritik bölgeye düşerse (iki gözlemin aritmetik ortalaması, \(\frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\)’den büyük ya \( – \frac{{1.96}}{{\sqrt n}}\)’den küçükse ortalama değerin sıfır olduğu savını red edeceğiz.
Ancak klasik kuram, neden bu kritik bölgenin kullanılacağını belirtmemektedir. Sav doğruysa, yalnızca gözlem noktasının kritik bölgeye düşme olasılığının yüzde beş olduğunu kanıtlar. Ancak, aynı özellikte sonsuz çoklukta bölge varken, yukarıda sözü edilen bölgenin neden seçilmesi gerekeceğine ilişkin olarak klasik kuram her hangi bir açıklamada bulunmaz. Çeşitli kritik bölgeler arasında bir ayrıştırma için, Neyman ve Pearson şu düşüncelerle ilerliyor. Bir savın kabul ya da red edilmesinde, iki tür hataya düşebiliriz: (1) doğru olduğu halde savı red etmek(I. tür hata); (2) yanlış olduğu halde kabul etmek(II. tür hata). Bilinmeyen ölçümöte ’nın belirli bir gibi değeri olduğunu öne sürme durumu aşağıdaki gibi özetlenebilir:
Kritik bölgenin büyüklüğü dendiğinde, savın doğru olduğu varsayımı altında hesaplanan, gözlemlere ilişkin noktanın kritik bölgeye düşme olasılığı anlaşılır. (Buna göre, daha önce kullanılan örnekte, kritik bölgenin büyüklüğü yüzde beşti.) Bu, kritik bölgenin büyüklüğü, I. tür hata işleme olasılığına eşittir diye ifade edilebilir.
Neyman ve Pearson kuramının altında yatan genel düşünce, I. tür hata olasılığını sabit tutarak, II. tür hatayı en aza indirmektir.
Örnek uzayında \(R\), her hangi bir bölgeyi ve \(E\), gözlemlere ilişkin noktayı göstermek üzere, \(O\ell \left( {R\left| {{\theta _1}} \right.} \right)\) ile, bilinmeyen \(\theta\) ölçümötesinin gerçek değerinin \(\theta_1\) olduğu varsayımı altında hesaplanan \(E\)’nin \(R\) içinde olma olasılığını belirteceğiz; yani, \(O\ell \left( {R\left| {{\theta _1}} \right.} \right)\) ’nın \(R\) bölgesinde \(\int\limits_R {d\Phi \left( {{x_1},{x_2},…,{x_n};{\theta _1}} \right)} \) Stieltjes tümlevine eşit olduğunu söyleyeceğiz. Böylece, \(\theta = {\theta _0}\) savını önerir ve kritik bölge olarak \(R\)’yi seçersek, kritik bölgenin büyüklüğü \(O\ell \left( {R\left| {{\theta _0}} \right.} \right)\) olacaktır. Eğer sav yanlış ve \(\theta\)’nın gerçek değeri \(\theta_1\) ise, o zaman II. tür hatayı önleme olasılığı, \(O\ell \left( {R\left| {{\theta _1}} \right.} \right)\) olur.
II. tür hata işlememe olasılığı (bir eksi II. tür hata işleme olasılığı) \(O\ell \left( {R\left| {{\theta _1}} \right.} \right)\)’e, , \(\theta = {\theta _1}\) savına göre kritik bölge \(R\)’nin gücü denir.
\(O\ell \left( {R\left| {{\theta }} \right.} \right)\), \(\theta\)’nın bir işlevidir. Ordinat değerleri, absisin \(\theta_0\) değerinde \(R\)’nin büyüklüğü; ve absisin diğer her \({\theta _1} \ne {\theta _0}\) değerinde, \(\theta = {\theta _1}\) savına göre \(R\)’nin gücü olan bir eğri olarak çizilebilir. Bu eğri, \(R\) kritik bölgesinin güç eğrisi olarak adlandırılır.
Dağılımın bilinmeyen ortalamalı ve birim değişkeli normal olduğu, ve (\({x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n})\)’lerin aritmetik ortalaması \(\bar x\) olmak üzere) kritik bölgenin \(\left| {\bar x} \right| > \frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\) olarak seçildiği önceki örnekte, güç eğrisi için hesaplamalar kolayca yapılabilir ve eğrinin biçimi aşağıda gösterildiği gibidir.
\(\left| {\bar x} \right| > \frac{{1.96}}{{\sqrt n }}\) sınamasını olası diğer sınamalarla karşılaştırmak için, yukarıdaki güç eğrisini aynı yüzde 5 büyüklüğündeki diğer kritik bölgelerin güç eğrileriyle karşılaştırmalıyız.
Genelde, her ikisi de istenen büyüklükte \(R\) ve \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) gibi iki kritik bölgemiz varsa ve \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) güç eğrisi, \(\theta = {\theta _1}\) noktasında \(R\) güç eğrisinin yukarısındaysa, o zaman \(\theta\)’nın gerçek değerinin \(\theta _1\) olduğu savını sınamada \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) kritik bölgesi, \(R\) kritik bölgesinden daha iyidir. \(R\) yerine \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) kullanıldığında, II. tür hata yapma olasılığı daha küçük olurken, I tür hata işleme olasılığı aynı kalır. İki eğrinin buluştuğu \(\theta_0\) noktası dışında her \(\theta\) değeri için, \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) güç eğrisi \(R\) güç eğrisinin yukarısındaysa, \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) , \(R\)’den tekdüze daha güçlü olarak adlandırılır. \(R\) kritik bölgesini kullanan sınama, kullanılması her koşulda \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) ’nin kullanımından daha az uygun olduğundan, kabul edilemez olarak nitelenecektir.
Genelde, her ikisi de istenen büyüklükte \(R\) ve \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) gibi iki kritik bölgemiz varsa ve \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) güç eğrisi, \(\theta = {\theta _1}\) noktasında \(R\) güç eğrisinin yukarısındaysa, o zaman \(\theta\)’nın gerçek değerinin \(\theta _1\) olduğu savını sınamada \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) kritik bölgesi, \(R\) kritik bölgesinden daha iyidir. \(R\) yerine \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) kullanıldığında, II. tür hata yapma olasılığı daha küçük olurken, I tür hata işleme olasılığı aynı kalır. İki eğrinin buluştuğu \(\theta_0\) noktası dışında her \(\theta\) değeri için, \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) güç eğrisi \(R\) güç eğrisinin yukarısındaysa, \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) , \(R\)’den tekdüze daha güçlü olarak adlandırılır. \(R\) kritik bölgesini kullanan sınama, kullanılması her koşulda \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} \) ’nin kullanımından daha az uygun olduğundan, kabul edilemez olarak nitelenecektir.
Buna açıklık getirmek için, her biri \(N\) tane gözlemden oluşan, \(M\) gibi çok büyük bir sayıda örneklem çektiğimizi varsayalım. \(S\) ve \(\hat S\) olarak adlandırdığımız iki istatistikçi, \(M\) tane örneklemin her birini kullanarak aynı savı sınasınlar. \(\hat S\) sınamalarını \(\hat R\) bölgesine dayandırırken, sınama için, \(S\)’nin \(R\) kritik bölgesini kullandığını düşünelim. \(S\) ve \(\hat S\), (sınanacak sav) yokluk savının red mi edileceği sorusuna \(M\) tane yanıt elde edecektir. Bu yanıtların kimi doğru, kimi de yanlış olacaktır. \(S\) ve \(\hat S\)’nın kayıtlarını karşılaştıralım. Yokluk savının doğru olduğu ve yanlış olduğu durumları ayırt etmeliyiz. a) Birinci durumda, istatistikçilerin yanıtı, ya “sav kabul edilmelidir” –doğru yanıt; ya da, “sav red edilmelidir” – I. tür hatalı yanıt. Rasgele oluşturulmuş bir örneklemle yokluk savının sınanmasında I. tür hata işleme olasılığı, sınamada kullanılan kritik bölgenin büyüklüğüne eşittir. Eğer \(M\) büyükse, I. tür hataların göreli sıklığı, hemen hemen I. tür hata olasılığına, yani kritik bölgenin büyüklüğüne eşit olacaktır. \(R\) ve \(\hat R\)’nın aynı büyüklükte olduğu varsayımıyla, iki istatistikçi de hemen hemen aynı sayıda I. tür hataya düşecektir. b) Eğer yokluk savı yanlışsa, istatistikçilerin her birinin vereceği \(M\) yanıttan kimisi ret biçiminde doğru, kimisi de II. tür hataya düşerek kabul yönünde olacaktır. Eğer \(M\) büyükse, doğru yanıtların göreli sıklığı, yaklaşık olarak II. tür hataya düşmeme olasılığına, yani kullanılan sınamanın gücüne eşit olacaktır. Varsayıma göre, yalnızca \(\theta \ne {\theta _0}\) olmak üzere \(\theta\)’nın gerçek değeri ne olursa olsun, \(\hat R\)’nın gücü, \(R\)’nin gücünden büyüktür. Dolayısıyla, \(S\)’nin yanlış yanıtlarının göreli sıklığı, \(\hat S\)’nın yanlış yanıtlarının göreli sıklığından daha büyük olma eğiliminde olacaktır. Böylece, (\(\theta\)’nın gerçek değerinin ne olduğuna bakılmaksızın) yokluk savı yanlışsa, \(S\)’nin daha çok yanlış yanıt vereceği; yokluk savı doğruysa, \(S\) ve \(\hat S\)’nın yaklaşık eşit sayıda yanlış yanıt verecekleri bellidir. Bundan ötürü, \(\hat S\)’nın \(\hat R\) kritik bölgesini kullanan yöntemi, \(S\)’nin \(R\) kritik bölgesini kullanan yönteminden üstündür.
Birisi diğerinden tekdüze daha güçlü, yani güç eğrisi, iki eğrinin buluştuğu \(\theta _0\) noktası dışında her \(\theta\) değeri için, diğerininkinden yukarıda olan, aynı büyüklükte iki kritik bölge arasından seçime bu düşünceler karar verir. Öte yandan, \(\hat R\) güç eğrisi \(R\) güç eğrisinin kimi değerleri için üzerinde, ancak \(\theta \) ’nın diğer değerleri için altındaysa, seçimin dayanağı olacak ek ilkeler getirmeden iki bölgeden birisini seçemeyiz.
Eğer tüm \(\theta \) değerleri için, \(R\) bölgesinin güç eğrisi, aynı büyüklükteki her hangi diğer bir \(\hat R\) bölgesinin güç eğrisinin hiç altına düşmüyorsa,\( R\)’ye tekdüze engüçlü bölge ve \(R\)’ye ilişkin sınamaya da tekdüze en güçlü sınama denir.
Bir sınamanın seçiminde ilk ilke şudur: tekdüze en güçlü bir sınama bulabilirsek, onu aynı büyüklükteki bölgeleri kullanan diğer tüm sınamalara yeğleniriz. Ne yazık ki, çoğu durumda tekdüze en güçlü sınama bulunmaz.
Daha önce verdiğimiz örnekte, \(\left| {\bar x} \right| > \frac{{1.64}}{{\sqrt n }}\) eşitsizliğiyle belirlenen bölgesini ele alalım. (Daha önce ele alınan \(R\) bölgesi gibi) \(\hat R\) bölgesine ilişkin büyüklüğün 0.05 olduğu kolayca gösterilebilir. Aşağıda \(R\) ve \(\hat R\) güç eğrileri görülüyor:
Tüm \(\theta > 0\) değerleri için \(\hat R\)’nın \(\ R\)’den, ve \(\theta< 0\) için de \(\ R\)’nin \(\hat R\)’dan daha güçlü olduğunu görebiliriz. Böyle durumlarda, seçimin temellendirileceği daha başka ilkeler koymamız gerekir. Yapacağımız seçimin, \(\theta \)’nın olası farklı değerlerinin gerçekliğine ilişkin öncül inancımızın derecesine bağlı olduğu açıktır. Örneğin, \(\theta \)’nın negatif olamayacağını önceden biliyorsak, \(\hat R\)’yı yeğleyeceğiz. Dahası, ölçümöte uzayı \(\theta \)’nın negatif olmayan değerleriyle sınırlanırsa, \(\hat R\)’nın tekdüze en güçlü olduğu gösterilebilir. Eğer \(\theta \)’nın negatif ve pozitif değerlerinin denk olası olduğunu öngörürsek, \(\ R\)’yi \(\hat R\) ’ya daha çok yeğleyeceğiz demektir.
Bu örnek, kritik bölge seçiminin temelde \(\Omega \)’ya bağlı olduğunu gösterir. Eğer \(\Omega \), \(\theta\)’nın tüm negatif olmayan değerlerinden oluşuyorsa, o zaman \(\hat R\) bölgesi tekdüze en güçlü sınamadır. Eğer \(\Omega \) , \(\theta \)’nın tüm pozitif olmayan değerlerinden oluşuyorsa, o zaman \(\left| {\bar x} \right|< -\frac{{1.64}}{{\sqrt n }} \) ile tanımlanan \(\hat {\hat R}\) bölgesi tekdüze en iyi bölgedir. Son olarak, eğer \(\Omega \) , \(\theta \)’nın tüm gerçek değerlerinden oluşuyorsa, o zaman \(R\)’nin kullanılması, \(\hat R\) ya da \(\hat {\hat R}\) ’nın kullanılmasından daha mantıklıdır.
Tekdüze en güçlü bölgeler seyrek bulunduğundan, Neyman ve Pearson, kritik bölge seçiminin dayanacağı, sapmasızlık denen bir başka ilke daha getirmişlerdir. Sınamanın güç işlevinin, sınanacak sav \(\theta_0 \) olmak üzere, \(\theta = \theta_0\) değerinde görece bir en küçük değeri varsa, sınama sapmasızdır denir.
Bu ilkenin usavurumu şöyle yapılabilir: Bir sınamanın sapmalı olduğunu varsayalım, o zaman, \(\theta \) ’nın \(\theta_0 \) komşuluğundaki kimi değerleri için, sınamanın gücü bölgenin büyüklüğünden daha küçük olur. Ancak bu, \(\theta = \theta_0\) savını red etme olasılığının, \(\theta_1\)’in doğru olduğu durumdakinden \(\theta_0 \)’ın doğru olduğu durumdakinin daha yüksek olduğu anlamına gelir ki, bu istenmeyen bir durumdur.
Genelde, sonsuz sapmasız sınama bulunur, dolayısıyla aralarından uygun olanı seçmek için bir başka ilkeye daha gereksinimimiz var. Tüm karşı savlara göre, en az aynı büyüklükteki diğer bölgelerin gücündeki sınamaya tekdüze en güçlü sapmasız sınama diyeceğiz. Eğer tekdüze en güçlü sapmasız bir sınama varsa ve sapmasızlık ilkesini kabul edersek, bu sınamanın kullanılabilecek en kazançlı sınama olduğu ortadadır. Neyman ve Pearson, tekdüze en güçlü sapmasız sınamaya ilişkin kritik bölgeye, \(A_1\) türü kritik bölge adını vermişlerdir.
Daha önce ele alınan örnekte, \(\left| {\bar x} \right| > d\) ile verilen kritik bölge, söz konusu savın sınanmasında \(A_1\) türü kritik bir bölgedir. \(A_1\) türü kritik bölgenin bir başka örneği şudur: \({X_1},{X_2},{X_3},…,{X_n}\), birbirinden bağımsız, sıfır ortalamalı ve ortak değişkeli normal dağılmış olsun. O zaman, ortak değişke \({\sigma ^2}\)’nin sıfıra eşit olduğu savının sınanmasında, örnek uzayının, \(x_{_1}^2 + … + x_{_n}^2 > {d_1}\) ya da \( x_{_1}^2 + … + x_{_n}^2 < {d_2}\) eşitsizliklerinden en az birisini sağlayan tüm noktalarından oluşan kritik bölge, eğer \(d_1\) ve \(d_2\) değişmezleri uygun seçilirse, \(A_1\) türü kritik bir bölgedir.
\(A_1\) türü kritik bölge, karşılaşılacak durumların önemli ancak çok kısıtlı bir sınıfında vardır ve olmadığı pek çok durum bulunur. Bundan dolayı, Neyman ve Pearson, \(A\) türü bölge olarak bilinen, üçüncü tür bir bölge tanımlar. Bir \(R\) bölgesinin güç işlevi \(O\ell \left( {R\left| \theta \right.} \right)\), \(\ R\) ile aynı büyüklükte ve (1)’i sağlayan tüm \(\hat R\) bölgeleri için,
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left. {\frac{{\partial O\ell \left( {R\left| \theta \right.} \right)}}{{\partial \theta }}} \right|}_{\theta = {\theta _0}}} = 0}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array}}&{}&{}&{}
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array}(1)}
\end{array}\\
{\left. {\frac{{{\partial ^2}O\ell \left( {R\left| \theta \right.} \right)}}{{{\partial ^2}\theta }}} \right|_{\theta = {\theta _0}}}{\left. {\frac{{{\partial ^2}O\ell (\hat R\left| \theta \right.)}}{{{\partial ^2}\theta }}} \right|_{\theta = {\theta _0}}}\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}}&{}
\end{array}}&{}&{}
\end{array}}&{}&{(2)}
\end{array}
\end{array}\]
olacak biçimdeyse, \(A\) türü bir bölgedir. Birinci koşul bölgeyi sapmasız olmakla sınırlandırır. İkincisi, \(A\) türü bir bölgenin güç işlevinin, aynı büyüklükteki sapmasız her hangi diğer bir bölgeninkinden daha büyük bir kıvrılımı olmasını gerektirir. Kabaca ifade etmek gerekirse bu, \(\theta_0 \) komşuluğunda bölgenin en güçlü olduğu anlamına gelir.
Uygulamadaki çoğu durumda sağlanan çok zayıf koşullar altında, \(A\) türü kritik bir bölge bulunur. Ancak, \(\theta\)’nın \(\theta_0 \) komşuluğundaki seçeneklerden daha çok, \(\theta_0 \)’dan uzaktakilerin güç işlevi davranışıyla ilgilendiğimiz yolunda, \(A\) türü kritik bölgeye bir itirazda bulunulabilir. Buna karşılık, göreceğimiz üzere son gelişmelerin ışığında, \(A\) türü kritik bir bölgenin kullanılmasına ilişkin iyi bir gerekçe verilebilir.