Fiziksel Bilimlerde Matematik

 

1910’da matematikçi Oswald Weblen ile fizikçi James Jeans Princeton Üniversitesi’nde ders programının reformu üzerinde görüşüyorlardı. Jeans, ‘’Programdan grup teorisini çıkarabiliriz ; bu, fizikte gereği hiçbir zaman duyulmayacak bir konudur.‘’ der. Weblen’in bu görüşe karşı çıkıp çıkmadığı ya da grup teorisini salt matematik açısından savunup savunmadığı kayıtlarda görünmemektedir. İlginç olan şu ki, söz konusu teori fizikte giderek çok önemli bir yer tutar; günümüzde doğanın temel parçacıklarını anlama çabasında olan biz fizikçilerin düşüncesine egemen olur.

Bu küçük hikayeden öğreneceğimiz birkaç nokta var. İlk nokta, bilim adamlarının kendi alanları dışında kalan konularda uluorta birtakım yargılardan kaçınmaları gereğidir. Tepeden inme yargıların olumsuz sonuçlarına Jeans’in meslek yaşamında çarpıcı bir örnek bulmaktayız. Ünlü bilim adamı başarılı popüler bir yazara bir radyo konuşmacısına dönüşür; sonunda din ve felsefede yüzeysel kimi çalışmalara yönelir ‘’Sir‘’ ünvanını alarak bilimden elini eteğini çeker.

Ne var ki, Jean’in izlediği bu düşüş çizgisini hafife almamalıyız aynı yola bizde girebiliriz. Unutmamak gerekir ki 1910’da Jean saygın bir fizikçiydi.Meslektaşlarının hiçbirinden ne daha yeteneksiz, ne de daha bilgisiz sayılabilirdi. O dönemde fizikle grup teorisinin birleşmesinden bu ölçüde verimli sonuç alınabileceği pek az kimsenin aklından geçebilirdi.

Olaydan öğrendiğimiz ikinci nokta, bilimin geleceğinin önceden kestirilemeyeceğidir. Matematiğin fizik bilimlerindeki yeri, tanımsal bir belirlemeyle öyle kesip atılacak bir konu değildir. Matematikle bilim arasındaki ilişki bilimin dokusu kadar zengin ve çeşitlidir.

Fiziğin uzun ve çetrefil giden tarihi boyunca değişmeyen bir etken varsa o da matematiksel imgenin tuttuğu önemli yerdir. Matematik de kendine özgü bir gelişme çizgisi izler. Fizikçi için matematik yalnızca olguları hesaplamada kullandığı bir araç değildir; yeni teorileri oluşturmada başvurduğu kavram ve ilkelerin başlıca kaynağıdır da. Gezegenlerin devinim yasalarını bulan XVII. Yüzyılın büyük astronomu Kepler hayretini teolojik terimlerle şöyle dile getirir: ‘’Görülüyor ki Tanrı’nın kendisi eliboş durmayacak kadar iyilikseverliğini ortaya koyarak dünyaya  kendi görüntüsünün damgasını vurmuştur. Bu nedenledir ki, tüm doğa ile yüce göklerin geometri sanatında  simgeleştiğini söyleyebilirim.” XIX. Yüzyılda, radyo dalgalarının varlığını ortaya çıkararak James Clerk Maxwell’in elektro-manyetik denklemlerini doğrulayan Alman fizikçisi Heinrich Hertz matematiğin “gizemli” saydığı gücü karşısında duyduğu hayreti açığa vurmaktan kendini alamamıştı: “Matematiksel formüllerin bağımsız bir varlığa, kendilerine özgü bir zekaya sahip olduğu gibi görmezlikten gelemeyeceğimiz bir duygu var içimizde; öyle ki, bizden, hatta onları keşfedenlerden daha akıllı görünen bu nesneler, başlangıçta aldıklarından çok daha fazlasını bize geri verecek güçtedir. Nihayet bizim daha akılcı sandığımız XX. yüzyılda, modern matematiğin gözalıcı başarıları karşısında şaşkınlığını gizlemeyen Eugene Wigner kendine özgü kuru ve yalın deyişiyle bakın ne diyor: ‘’Biz eline bir deste anahtar verilen bir kimsenin durumundayız. Bu kimse, önündeki bir dizi kapıyı açmaya kouyulduğunda, her kapı önünde elini attığı ilk olmazsa ikinci anahtar kilide uymaktadır. Anahtarlarla kapılar arasındaki bu beklenmedik uyum onu ister istemez kuşkuya düşürecektir.”

Şimdi Keple’rin ya da Hertz’in matematiğiyle Wigner’in matematiği arasında pek az benzerlik vardır. Kepler Eucelides geometrisi çerçevesinde daire küre ve düzgün çokgenli nesnelerle ilgileniyordu. Hertz’in kafasında kısmi diferansiyel denklemler vardı. Wigner ise, kuantum  mekaniğinde kompleks sayılardan söz ediyor ve kuşkusuz (adını anmaksızın) grup teorisini fiziğin çeşitli dallarına sokmadaki kendi başarısızlıklarını göz önünde tutuyordu.   Matematiğin birer dalı olan  Euclides geometrisi kısmi differensiyel denklemler ve grup teorisi birbirinden öylesine farklı ki her birinin değişik bir matematik dünyasına aitmiş gibi göründüğü söylenebilir. Oysa, fiziksel evrenimizi her üçüde yaşamsal değerdedir. Bu gerçekten kimsenin tümüyle kavrayamadığı hayret verici bir olaydır.  Bu olaydan güvenle yalnızca bir sonuç çıkarabilirz: İnsan zekası henüz fiziksel dünyayı ya da matematiksel dünyayı  ya da ikisi arasındaki ilişkiye tam anlamıyla yaklaşmış değildir.

Bu yazıda, matematiğin fiziğe neden bu denli büyük bir güç sağladığının nedenlerini irdeleme konusunda derin felsefi bir tartışmaya girmeyeceğim. Her yüzyılda, gerçekten felsefî zorluklar içeren sorunlara çözüm getirmek için bilgimizin temellerini yoklama yoluna giden fizikçi sayısı birkaçı geçmez. Yaşadığımız yüzyılda belki de yalnızca Albert Einstein, Hermann Weyl, Niels Bohr, P.W. Bridgman ve Eugene Wigner’in adlan verilebilir. İşbaşındaki fizik­çilerin geriye kalan büyük çoğunluğu (kendim de dahil) temele inen sorunlar­la ilgilenmez. Aynı gözlem matematikçiler için de doğrudur. Fransız matema­tikçisi Henri Lebesque bunu şöyle dile getirmektedir: “Kanımca, matematikçi­nin bu kimliğiyle felsefi sorunlarla ilgilenme gereği yoktur; bu görüşü pek çok felsefecinin de paylaştığını biliyoruz.”

Biz çoğunluğa gelince, felsefe yapmayı Bohr ve Wigner gibi devlere bıra­karak, doğa üzerindeki yüzeysel çalışmalarımızı sürdürmekle yetinmekteyiz. Bu nedenle, matematiksel kavramların fizikte neden bu denli yaşamsal oldu­ğu tartışmasını bir yana bırakıyorum. Yalnızca doğanın matematiksel terim­lerle anlaşılabileceği inancını dile getirmekle yetiniyorum. Ele almak istedi­ğim sorun, matematiksel kavramların fizikteki etkisine ilişkin pratik nitelikte bir sorundur. Matematiğin fiziğe yüklediği estetik ve düşünme ölçütleri ne­dir? Fiziksel dünyayı anlama çabasında matematiğin hangi dalları önemli gö­rülmektedir? Sözlerimi grup teorisinin fizikte, özellikle temel parçacıklar teo­risinin oluşmasında oynadığı role değinerek bağlayacağım…

Günümüz problemlerinin ayrıntılarına girmeden önce, tarihten bazı ör­nekler getirerek, matematiğe özgü anlayış ve önyargıların fizikteki etkisini göstereceğim. Aslında, teknik nitelikte olan sorunları herkesin anlayabileceği biçimde açıklamak için geçmişe bakma, daha önce olup bitenlerle şimdiki ge­lişmeler arasında benzerlikler kurma yararlı bir yoldur. Ancak okuyucuyu, bu benzerlikleri gereğinden fazla ciddiye almaması için uyarmak isterim. Bi­lim adamlarının pek azı bilim tarihini yakından bilir. Kaldı ki, hemen hiçbir fizikçi, araştırmalarında tarihin yol göstericiliğini arama yoluna gitmez. … Bi­limde gerçek başarıya ulaşmak isteyen kişi öncelikle William Blake’in şu söz­lerine kulak vermelidir: “Arabanı ve pulluğunu ölülerin kemikleri üzerinde sür.”([2])

Fizikte matematiksel muhayyilenin başarılı uygulamasına en çarpıcı ör­neği Einstein’in “Genel Relativite Teorisi” diye bilinen gravitasyon teorisinde bulmaktayız. Einstein teorisini kurmak için Euclides-dışı bir geometriye baş­vurur. Eğmeçli uzay varsayımına dayanan bu geometri, XIX. yüzyılda oluştu­rulmuştur. Einstein bildiğimiz fiziksel uzay-zamanı eğmeçli bir uzay olarak yorumlar; öyle ki, fizik yasaları düzlem geometri dışında değişik bir geometri­nin önermelerine dönüşür. Başlangıçta tüm bu değişiklik son derece genel ve estetik nitelikte bir yargıya dayanılarak yapılır. Teorinin gözlemsel yoklanma­sı daha sonraki bir iş olmuştur. Gözlem ya da deneyin teorinin oluşturulmasındaki yaratıcı süreçte bir katkısı yoktur. Einstein matematiksel sezgisine o denli güvenle bağlandı ki, teorisinin gözlemsel yoklamasına geçildiğinde, her­hangi bir tereddüde düşmemiş, sonucun olumlu çıkacağından kuşku duyma­mıştır. Sonucun olumlu çıkması diğer fizikçilerin de kendisine katılmasını sağlar.

Genel relativite, “karanlıkta matematiksel bir sıçrama” diyebileceğimiz, fi­ziksel bir teorinin başta gelen örneğidir. Einstein’ın kendine özgü muhayyile­si olmasaydı, teorinin oluşması belki de daha bir yüzyıl alabilirdi. XX. yüzyı­lın diğer büyük icadı olan kuantum teorisi için aynı şeyi söyleyemeyiz. Kuantum mekaniğini, birbirinden bağımsız ve farklı görüşlerden hareket eden Werner Heisenberg ile Erwin Schrödinger oluşturur. Temelde teori birçok kimsenin ortak katkısının bir ürünüdür.

Ne var ki, kuantum mekanikte bile sonuca giden kesin adım matematiksel muhayyilenin cesur bir atılımı ile atılır. Bu atılımı Schrödinger’in çalışma­sında çok açık olarak görmekteyiz.

Schrödinger’in çalışması ışık ışınları teorisiyle, parçacık yörüngeleri teo­risi arasında bulunan formel matematiksel bir benzerliğe dayanıyordu. Söz konusu benzerliği 90 yıl önce İrlandalı matematikçi W. R. Hamilton bulmuş­tu. Işık ışınlan teorisinin, Hamilton’dan sonra Maxwell ve Hertz’in kurduğu ışık dalgaları teorisinin özel bir örneği olduğunu fark eden Schrödinger şöyle düşünür: Işık dalgalarının ışık ışınlarına olan ilişkisine benzer bir ilişki par­çacık dalgalarıyla parçacık yörüngeleri arasında niçin olmasın? Salt matematiksel olan bu düşünce onu, şimdi kuantum mekaniği dediğimiz parçacık dalgaları teorisini oluşturmaya götürür. Teori hemen, atomların davranışlarına ilişkin deneysel olarak saptanmış olgularla yoklanır; sonuç genel relativitede gördüğümüz basandan daha göz alıcı bir basan sergiler. Fizikte çoğu kez görüldüğü gibi, kimi deneysel verilerle desteklenen genel matematiksel bir akıl-yürütmeye dayalı bir teori, çok sayıda, son derece kesin ve doğru ön-deyilere olanak vermektedir.

Genel relativite ile kuantum mekaniği, matematiksel sezgiyi yaratıcı ve verimli işlevinde açığa vuran iki başarılı girişimdir. Ne yazık ki, madalyonun bir de ters yüzü vardır. Matematiksel sezgi çoğu kez devrimci değil, tutucu­dur; özgür düşünceye yol açmaktan çok bu yolu tıkayıcıdır. Fiziksel bilimle­rin tarihinde bu türden en kötü engeli Aristoteles ile Ptolemy’nin tüm göksel cisimlerin kürelerde dairesel devindiği öğretisini içeren yer-merkezli sistem oluşturmuştur. Aristoteles astronomisi bilime yaklaşık 1800 yıl süren (l.Ö. 250-l.S. 1550) tam karanlık bir dönem yaşatır. Kuşkusuz uzun süren bu durağanlığın birçok nedeni vardı. Ancak başta gelen neden, göksel cisimler için yalnızca küre ve daireyi estetik olarak doyurucu bulan yanlış yolda bir matematiksel sezgiydi.

Ptolemy ay ile gezegenlerin devinimlerini saykil ve episaykillerle açıklıyor­du. Başka bir deyişle, bu sistem, birbiri üzerinde devinen değişik büyüklükte daireler içeriyordu. Sistemin en kötü özelliği, olgusal yanlışlanmaya açık olmamasıydı. Teori ayrı ayrı her gezegenin gözlemlenen devinimine uyacak şe­kilde özel olarak oluşturulduğundan yanlışlanmaya olanak vermiyordu. Ptolemy’nin dönemine gelindiğinde (l.S. 150), Yunan matematiği yaratıcı gücünü yitirmişti; artık bilimsel muhayyileyi Euclides geometrisinin küre ve daireleri­nin kısıtlayıcı baskısından kurtarmaya olanak yoktu. Ne yeni gözlemlerle ne de matematiğin yeni bir atılımıyla rahatsız olmayan 1000 yıllık karanlık dö­nem kendini sürdürür.

Kepler 1604’te gezegen yörüngelerinin elips biçiminde olduğunu keşfedip episiklik kozmolojiyi yıktığında, ona bulgusunu güzel gösteren matematiksel bir önyargısı yoktu. Tam tersine keşfine giden yolu tıkayan Orta Çağ’dan kal­ma önyargıları vardı. Kepler keşfini, yıllarca didinerek, kolayca kopamadığı bu tür önyargılara karşın gerçekleştirmiştir. Fizikte çığır açmış büyük isimler arasında matematiksel tutuculuk istisna değil genel bir kuraldır. Yeni bir dö­nemin kapısını aralayan kişi çoğu kez eskinin egemenliğinden tam kurtul­muş değildir. Fizik ve astronomideki büyük keşiflerine matematiksel temel oluşturan kalkülüs’ün babası Isaac Newton bile düşüncelerini arkaik geometri diliyle açıklamayı yeğlemiştir. Başyapıtı Principia Mathematica klasik Yunan geometrisinin diliyle yazılmıştır. Asistanı Henry Pemberton, Newton’un Antik Çağ’ın geometrisine büyük bir hayranlık duyduğundan, o geometriye yeterin­ce uymadığı için kendisini sık sık yerdiğinden söz etmektedir. Newton’un ya­yınlanmamış notlarını toplayıp incelemeyi kendine yaşam boyu meşgale ya­pan Lord Keynes, Newton’a ilişkin izlenimlerini şu sözlerle özetler:

XVIII. yüzyılda ve daha sonra Newton’a modern bilim dünyasının ilk ve en büyük bilim adamı gözüyle bakılmaya başlandı: Bize aklın soğuk ve yalın kurallarıyla doğaya yaklaşmayı öğreten bilim adamı. Ben ona öyle bakmıyo­rum. Onun 1696’da Cambridge’den ayrıldıktan sonra tuttuğu notları gözden geçiren hiç kimsenin de öyle bakabileceğini sanmıyorum. Newton, “akıl ça­ğrının ilk büyük bilim adamı değildir. Ona bir bakıma büyücülerin sonuncu­su, Babillilerin veya Sümerlilerin sonuncusu diye bakmak daha yerinde olur. Dahası, onu son 10.000 yıllık dönemde entelektüel mirasımızı kurmaya çalı­şanların gözüyle dış dünyaya ve düşün yaşamına bakan son büyük düşün adamı sayabiliriz. …

Newton’un karakteri, simya ve antik vahiylere olan düşkünlüğü son de­rece ilginç bir konudur: ancak burada üzerinde duracağımız şey bu değildir. Bizi ilgilendiren yalnızca onun matematiksel yaklaşımı ve bu yaklaşımın bi­limsel çalışması üzerindeki etkisidir. Bu konuda bildiğimiz her şey Keynes’in söylediklerine uymaktadır. Newton’un da Kepler gibi keşiflerini, kendisini iç­ten saran matematiksel önyargılarına karşın gerçekleştirdiği üzerinde pek az kuşku vardır.

Bu ve benzeri tarihsel örneklerden çıkan sonucu kısaca şöyle özetleyebi­liriz: Matematiksel sezgi, hem iyi hem de kötüdür; hem fizikte yaratıcı çalış­ma için vazgeçilmez bir yöntem, hem önyargılarımıza bir sığınak. Bu iki yanlı görünümün nedenini matematiğin doğasında aramak gerekir. Fizik bilgini Ernst Mach’ın belirttiği üzere, “Matematiğin gücü gereksiz tüm düşünceler­den sıyrılabilmesine ve düşüncede israfa düşmemek yolundaki üstün beceri­sine dayanmaktadır.” Fizikçi, matematiği kullanarak teori oluşturur; çünkü, matematik ona başka türlü düşünemeyeceği ilişkileri kurma olanağı sağlar. … Teori oluşturma sürecinde matematiksel sezginin işlevi, vazgeçilmezdir; şöyle ki, muhayyilenin özgür etkinliği için “gereksiz düşüncelerden sakınma” tutumuna ihtiyaç vardır. Ancak bunun tehlikesini de unutmamalıyız: Bilim­sel araştırmada çoğu kez “gereksiz” diye düşünceden sakınmaya değil, dü­şünceye ihtiyaç vardır.

Şimdi fizikte bugünkü durumu ele alabiliriz. “Fizik” deyince, temel parça­cıkları konu alan yüksek enerji fiziğini düşünüyorum. Böyle dar anlamda al­dığım fizik alışık olmadığımız mutlu bir dönem geçirmektedir. … 1910’da atom dünyası ne denli yeni ve garip görünüyorduysa, günümüzde atom-altı parçacıklar dünyası da o denli yeni ve garip bir görünüm sergilemektedir. Edini­len tüm deneysel bilgilere karşın, bu dünyaya ilişkin elimizde henüz kapsam­lı bir teori yoktur.

Böyle bir durumda teorik fizikçiler hedef ve yöntemlerini matematiksel anlayış ölçütlerine göre belirler. Bu aşamada onun öncelikle yanıtlaması ge­reken, “Acaba teorim çalışacak mı?” sorusu değil, “Ulaştığım şey gerçekten bir teori midir?” sorusudur.

Teori oluşturma çabasında fizikçinin başvurduğu şey çoğu kez, daha ön­ce öğrendiği birkaç genel ilkenin yanı sıra bazı matematik yöntemlerle hesap­lama teknikleridir. Bunların ne tür bir birleşimiyle teorik sonuç alınabileceği matematik anlayışa kalmış bir sorundur.

Çağdaş teorik çalışmada başvurulan üç temel yöntem vardır. Bunlar, alan teorisi, S-matris teorisi ve grup teorisi diye bilinmektedir. Bu teoriler birbiriyle bağdaşmaz değildir; hiç değilse, verdikleri sonuçların birbiriyle çeli­şir nitelikte olduğu söylenemez. Şu kadar ki, farklı teorileri benimseyenlerin söyledikleri her zaman birbirini tutmamaktadır. Büyük bir olasılıkla doğayı anlamada her üç görüşün de verimli katkılarına tanık olacağız.

Söz konusu üç yöntem arasındaki fark yalnızca matematiksel içerik yö­nünden değil, bu içeriği işleme biçiminde de kendini göstermektedir. Alan te­orisi matematiksel derinliğe ilişkin bir önyargıyla işe koyulmaktadır. Buna göre fizikte köklü anlama matematikte derinleşmeyle birlikte gitmelidir. Bu nedenle matematiksel malzeme olarak Hilbert uzayında operatörler cebiri se­çilir. Bu cebir başka birtakım karmaşık matematik yöntemlerle birleşerek gerçek dünyanın belirgin özelliklerini temsil edecek yapısal bir bütünlüğe ka­vuşturulur, önemsenen ve vurgulanan deneysel sonuçlarla uyum sağlamak değil, fizik teoriyi matematiksel olarak kurmaktır. Sözü edilen üç temel yön­tem içinde deneye en uzak duranı, matematiksel kesinliğe en büyük önem veren, fizikle ilişkisinde belirsiz kalırken, entelektüel amaçlarında en yüksek düzeye yönelik olan alan teorisidir. Bu yöntemin tutkunlarından biri oldu­ğum için yetersiz kaldığı noktalan belirtmeye kendimi yetkili görüyorum.

S-matris teorisinde ise matematiksel malzemenin elden geldiğince basit tutulmasına özellikle özen gösterilir. Bu yöntemi karmaşık değişkenlerin standart analitik fonksiyonlar teorisi (ki, kimliğini XIX. yüzyılın başlarında Fransız matematikçisi Augustin Cauchy’nin elinden çıktığı gibi korumakta­dır) oluşturmaktadır. S-matris teorisinin matematiksel derinlikteki yetersizliğini deneysel verilere büyük ağırlık tanımasıyla dengelediği söylenebilir. Teori bir deney sonucunu, diğer deneylerin sonuçlarını kullanarak, hesaplama ve kestirme yoluna gitmektedir. Bazen öndeyiler, deney sonuçlarından bağımsız olarak, “temel ilkeler”e başvurma yoluyla hesaplanır. S-matris teorisinin sağ­ladığı kolaylıklardan biri, hesaplama sürecinde oyunun kurallarını değiştir­meye elvermesidir. Yöntemin esnek yapısı teori oluşturmada kesin uygula­maya değil, bir tür sınama-yanılma yoluyla sonuç almaya olanak vermekte­dir. Araştırmanın her aşamasında, deneysel sonuçlarla yoklanan hipotezler yanlış çıktığında ayıklanabilmekte, doğrulananlara dayanılarak ilerlenebilmektedir.

Deneyleri yorumlama ve yönlendirmede S-matris teorisinin sağladığı ba­şarı göz alıcı bir düzeydedir. Benim, alan teorisini yeğlemem, tarihsel kanıtla­ra baş vurulduğunda, güvenilirliği kuşku çeken kişisel bir eğilime dayanmakta­dır. S-matris teorisi, bana kalırsa çok basit, derinlikten yoksun, tümüyle alındığında yetersiz görünmektedir. Öyle ki, bu teori her şeyi açıklama gü­cünde olduğunu ortaya koyacak olsa, doğrusu hayal kırıklığına düşer, “Yaratıcı”nın bu denli yüzeysel kalmış olmasına üzülürüm. Ama biliyorum ki, “O”, beklemediğimiz biçimlerde derinleşme inceliğine sahiptir.

Son olarak, teorik fizikte kullanılan matematiksel yöntemlerden üçüncü­sünü, grup teorisini ele alacağım. Daha çok yüzyılımızın ilk çeyreğinden baş­layarak giderek büyük derinlik ve güç kazanan bu teoriye daha ayrıntılı bak­mak istiyorum. Teoride iki temel kavram, “grup” ile “temsil” kavramlarıdır. Grup bir küme işlem demektir; öyle ki, bunlardan art arda gerçekleştirilen herhangi ikisi birlikte kümeye dahil bir üçüncü işleme eşdeğerdir, örneğin, üç boyutlu rotasyon grubu O₃, sıradan üç boyutlu uzayın sabit bir merkez çevresinde tüm rotasyonlar kümesi olarak tanımlanır. Buna göre, R₁ ile R₂ o türden iki rotasyon ise, ikisinin birleşimi R₃ gibi bir üçüncü rotasyonla eşleştirilebilir.

Bir grubun temsili ise bir küme sayı ile bu sayıları dönüştürecek bir ku­ral demektir; öyle ki, gruba dahil her işlem, sayıların düzgün-tanımlanmış bir dönüştürmesini sağlar. Bir temsildeki dönüştürmeler, doğrusal (lineer) ol­makla sınırlıdır; yani, eğer belli bir dönüştürme p’yi p’ye q’yü q’ya yollarsa, bu aynı zamanda p+q” yü p’+q’ya yollaması demektir. O₃’ün temsiline bir ör­nek olarak, P gibi herhangi bir noktanın konumunu belirleyen üç koordinat (x, y, z) gösterilebilir. R gibi bir rotasyon uygulandığında, P noktası P’ gibi ko­ordinatları x’,y’ ve z’ olan yeni bir noktaya kayar ve bu x, y, z için dönüştür­me kuralını belirler. O₃‘ün bu dönüşümüne üçlü temsil denir; çünkü bu üç sayıyı içine almaktadır.

Grup teorisinin fizikteki büyük gücü iki nedene bağlanabilir. Birincisi, kuantum mekaniğinin yasaları gereğince, ne zaman fiziksel bir nesnenin si­metrisi varsa, bu simetriyi koruyan düzgün-tanımlanmış bir grup (G) işlem vardır; öyle ki, bu nesnenin olası kuantum durumları G’nin temsilleriyle tam bir karşılaşım içindedir. İkincisi, tüm düzgün-davranışlı gruplarla temsilleri­nin sayım ve sınıflanması, grupların uygulanabileceği fiziksel durumlardan bağımsız olarak matematikçiler tarafından kesinlikle yapılmıştır. Bu iki ne­denden grupların soyut niteliklerine ve temsillerine dayanan ve tüm mekanik ve dinamik modellerden kaçınan temel parçacıkların simetrilerinin katıksız soyut bir teorisini oluşturma olasılığı çıkmaktadır.

Somut grup teorisinden soyut grup teorisine geçişi örnek vererek, daha kolay açıklayabiliriz. Yoğunluğu son derece zayıf bir gaz içinde yüzen bir ato­mun uzayda yeğlediği hiçbir yönü yoktur; bu nedenle sıradan rotasyon grup(O₃)un simetrisine sahiptir. O₃‘ün temsilleri arasıda üçlü temsil de vardır. Bir birim spini olan atomun durumları bu temsillere aittir ve üçlü durum diye bilinir. Bunlar daima aynı enerjiyle üçlü gruplarda bulunur. Şimdi rotasyonal simetriyi bozacak şekilde manyetik bir alanın döndüğünü varsayalım; üç eşit enerji azıcık parçalanır ve üç durum spektroskopta spektral çizgilerin gö­rünebilir üçlüsü olarak saptanabilir. Atomun rotasyonal simetrisine göre ya­pılan böyle bir durum sınıflaması uygulanan somut grup teorisine standart bir örnek oluşturur.

Şimdi farklı bir örnek verelim: “pions” denen üç tür temel tanecik vardır. Bunlardan biri artı yüklü, biri eksi yüklü, diğeri yüksüz (nötr) dür. Üçünün de kütleleri ve çekirdek etkileşimleri yaklaşık olarak denktir. Şimdi bunların O₃ ile aynı soyut yapıya sahip, ancak sıradan uzay rotasyonlarıyla ilgisi olma­yan, bir O_3′ grubunun üçlü bir temsili olduğunu düşünelim. Bu durumda O_3′ oluşturan işlemlerin nitelikleri hakkında hiçbir şey bilmeksizin, yalnızca soyut grup teorisine dayanarak pionların birçok özelliklerini kestirebiliriz. Bundan daha ilginç olan, Nicholas Kemmer’in 1938’de, ilk pion’un keşfinden tam dokuz yıl önce, soyut grup teorisine dayanan öndeyilerini yapmış olması­dır. O_3′ grubu (kimi hafif değişimlerle) fizikte “izotopik spin grubu” diye bilin­mektedir.

………………………………

………………………………

Görülüyor ki, teorik fizikte kullanabileceğimiz üç matematiksel yöntem ya da teori vardır: Alan teorisi, S-matris teorisi ve grup teorisi. Bunlardan hiçbiri gerçek anlamda teori değildir. “Teori” deyince relativite teorisi veya kuantum mekaniği gibi büyük bir açıklama sistemi akla gelir. Oysa sözünü ettiğimiz yöntemler gereği kadar ne tam, ne de istenilen bütünlüktedir. Kuş­kusuz bu benim kişisel değerlendirmem. Uygulama amaçlarında başarılı da olsalar, benim bir teorinin yapısında aradığım estetik ölçülerin gerisinde kalmaktadır. Bu yüzden onları, “cehalet uçurumu üstüne kurulmuş kardan köprü” diye nitelemek eğilimindeyim. Karl Pearson’a borçlu olduğumuz bu parlak niteleme, genellikle benimsemekte güçlük çektiğimiz teorik düşüncele­re uygulanır. Pearson, Gregor Mendel’in kalıtım yasalarını bu yakıştırmayla yerme yoluna gitmişti.

---

[1] Dayson, Freeman J.() Mathematics in the Modern World(Ed. M.Kline)’den kısaltmalarla çevrilmiştir. (C.Y.)

[2]A.N. Whitehead’ın ilginç bulduğumuz bir belirlemesi akla gelmektedir: Kurucularını unut­makta duraksayan bir bilim kendini bulamaz. Mantığın çoraklığını bu duraksamayla açıklıyorum. (Çeviren)